06.47 |

1 . Bilangan Kompleks

Bilangan bulat, sudah biasa kita dengar dan pastinya sudah paham dengan apa itu bilangan bulat. Jika kita kembangkan bilangan bulat, maka bilangan bulat masuk dalam himpunan bilangan rasional. Dan bilangan rasional beserta pasangannya bilangan irasional masuk dalam anggota bilangan riil. Sedangkan gabungan antara bilangan riil dan bilangan imajiner merupakan bilangan Kompleks. Jenis bilangan yang pada kesempayan kali ini akan kita bahas.

Berdasarkan gambar diatas, lingkaran yang paling besar merupakan bilangan kompleks dan menunjukkan betapa luasnya bilangan kompleks itu.

Bilangan kompleks yang merupakan penggabungan dari bilangan real dan imajiner dapat kita notasikan sebagai hubungan penjumlahan seperti berikut ini.

z=x+yi

Berdasarkan notasi diatas x dan y merupakan bilangan riil sedangkan i merupakan imajiner murni. Notasi bilangan kompleks bukan hanya ditulis dalam bentuk penjumlahan melainkan juga dalam bentuk polar. Perhatikan penjelasan berikut ini. Dengan menganggap bahwa

serta

maka

atau sering ditulis juga a+bi = r cis teta.

Selain bentuk penjumlahan dan bentuk polar, notasi bilangan kompleks dapat dituliskan juga dalam Eksponen dan dalam bidang kompleks, yaitu :

Dalam sistem koordinat dua dimensi, bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi yang biasa disebut dengan bidang kompleks atau diagram argand. Koordinat cartesian dari bilangan kompleks yaitu bagian riil x serta bagian imajiner y, sedangkan koordinat sirkularnya yaitu r=|z|, disebut modulus, dan φ=arg(z) disebut argumen kompleks dari z. Jika kita kombinasikan dengan rumus euler, maka diperoleh :

Untuk lebih memahami bilangan kompleks, perhatikan beberapa contoh soal berikut ini.

1. Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + yi).
Jika z =

, tentukan x dan y. Selanjutnya, gambarkan z dalam bidang kompleks!

Jawab:
Bentuk z diubah dulu atau disederhanakan.
z =

z =

Nah, di sini didapat bahwa x=5 dan y =

.
Ini adalah lokasi titik z di bidang kompleks:

Titik yang berwarna merah adalah titik yang dimaksud.

2. Jika diketahui persamaan

z1 = z2 = z3.
z1 = c + ai.
z2 = b + 2ci.
z3 = a+2 – di.
Tentukan a, b, c, d dan z1, z2, dan z3!Jawab:
Di sini, kita harus tahu bahwa 2 bilangan kompleks p + qi dan r+si dikatakan sama jika dan hanya jika p = r DAN q = s.

Oleh karena itu, kita tinggal menghubung-hubungkan koefisiennya.

z1 = z2 = z3

c + ai = b + 2ci = a+2 – di.

c = b = a+2 … (i)
a = 2c = -d … (ii)

c= a+2
Substitusikan nilai c ke persamaan 2
a = 2(a+2)
a = 2a + 4
a = -4
Secara otomatis, kita dapatkan nilai d = 4. c=-2. b = -2. (Substitusi biasa)

Kita dapatkan z1 = z2 = z3 = c + ai = -2 -4i.

3. (3+4i)(2-5i) = ….
Jawab:
Lakukan perkalian biasa terlebih dahulu.
(3+4i)(2-5i) = 6 -15i + 8i -20i.
Lalu ubah

menjadi

1.(3+4i)(2-5i) = 6 -15i + 8i +20 = 26 -7i.

= ….
Jawab:
Lihat bagian penyebut, yaitu 3+4i. Maka, sekawan/konjugatnya adalah 3-4i. Kalikan bilangan konjugat ini di pembilang dan penyebut.. (perhatikan langkah di bawah).

====-=

5. Jika z = 3-i. Tentukan

Jawab:
Hasil dari pemangkatan dapat diselesaikan dengan dalil De Moivre. Namun, karena kita belum belajar hal itu, kita akan mengalikannya secara biasa.

= (3-)(3-i)(3-i) = (9-6i-1)(3-i)=(8-6i)(3-i)=24-8i-18i-6=18-27i.

6. (3+2i)+(-2+7i) =….
Jawab:
(3+2i)+(-2+7i) = 3 + 2i -2 + 7i = 1 + 9i.

Dari 6 contoh soal diatas semoga dapat membuat anda lebih mengenal dan memahami bilangan kompleks.

2 . Pengertian Dan Contoh Bilangan Imajiner

Apakah anda sudah tahu atau bahkan sudah mengerti tentang bilangan imajiner. Atau mungkin malah sebagian dari anda ada yang baru mendengarnya, tidak apa-apa. Karena dalam pembahasan kali ini bilangan imajiner menjadi topiknya, dengan sebelumnya telah kita bahas bilangan riil yang pastinya sekarang kita telah memahami benar bilangan riil itu apa.

Nah, Bilangan imajiner atau biasa disebut bilangan khayal merupakan bilangan yang mempunyai sifat i ² = −1, yang biasanya bilangan imajiner ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Selain merupakan bagian dari bilangan kompleks, namun bilangan imajiner juga merupakan bagian dari bilangan riil.

Secara definisi, bilangan imajiner itu diperoleh dari menyelesaikan persamaan kuadratik berikut ini.

x²+1 = 0 secara ekuivalen akan menjadi

x² = -1 atau sering dituliskan sebagai x=√-1

Perhatikan gambar diatas, gambar diatas menunjukan beberapa contoh bilangan imajiner. Jadi apakah sekarang anda sudah memahami tentang bilangan imajiner? Jadi jika dalam matematika kita menemukan bentuk akar negatif maka itu merupakan bilangan imajiner.

Semoga artikel tentang bilangan imajiner ini dapat membantu lebih memahami matematika, karena matematika akan mudah jika kita berpikir mudah. Senangilah maka kitapun akan lebih gampang memahaminya. Pelajari juga Bilangan Rasional dan Irasional serta Fungsi Eksponen dan Logaritma.

3. Bilangan Cacah Dan Operasinya

Bilangan prima merupakan bilangan asli yang lebih besar dari satu serta faktor pembaginya adalah satu dan bilangan itu sendiri.

Yang termasuk dalam anggota bilangan prima yaitu {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …}. Dalam matematika tidak ada bilangan prima yang terbesar karena jumlah dari bilangan prima tak berhingga.

Sepertinya untuk definisi serta yang anggota bilangan prima sudah jelas, sehingga sekarang kita akan bahas tentang Faktorisasi Prima. Yang dimaksud dengan faktorisasi prima adalah pembentukan suatu bilangan ke dalam bentuk perkalian dimana faktornya merupakan bilangan prima.

Terdapat dua cara mencari faktorisasi prima, yaitu :

1. Menggunakan pohon faktor

Perhatikan contoh berikut ini

sehingga faktorisasi prima dari 30 adalah 2x3x5

sehingga faktorisasi prima dari 864 adalah 2x2x2x2x2x3x3x3

2. Menggunakan pembagian bersusun

Perhatikan contoh berikut ini.

sehingga faktorisasi prima dari 30 yaitu 2x3x5

Hasilnya akan sama baik kita mencari menggunakan pohon faktor ataupun pembagian bersusun. Berdasarkan pengetahuan matematis sekarang, bilangan yang paling sulit difaktorisasi adalah bilangan semiprima yaitu bilangan yang merupakan hasil perkalian dua bilangan prima.

Sekian penjelasan tentang Definisi Bilangan Prima serta Faktorisasi Prima, semoga bermanfaat

4 . KPK Dan FPB

KPK dan FPB merupakan salah satu materi yang diajarkan sejak duduk dibangku SD, apa sampai sekarang materi matematika tersebut masih ada dalam ingatan kita? Bagi yang ingat-ingat lupa, dalam artikel ini akan dijabarkan kembali mengenai KPK dan FPB, dari definisi, cara mencari, serta berbagai contoh soal mengenai KPK dan FPB.

Untuk mencari KPK dan FPB diperlukan hal tentang bilangan prima juga faktorisasi prima, apa maksud dari kedua ungkapan tersebut :
Bilangan prima merupakan bilangan yang sudah tidak asing lagi yaitu bilangan asli yang hanya mempunyai dua faktor yaitu bilangan itu sendiri dan 1, yang termasuk dalam bilangan prima {2,3,5,7,11,…..}. Sedangkan Faktorisasi prima merupakan penguraian bilangan menjadi perkalian faktor-faktor prima. Untuk melakukan faktorisasi prima ini diperlukan pohon faktor. Sebenarnya FPB Dan KPK ada cara yang menggunakkan tabel , tetapi karena jarang dimengerti saya tidak cantumkan , maaf ......
contoh:
Faktor prima dari 80 adalah….

buat pohon faktornya:

didapat 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 2⁴ x 5
Jadi faktor prima dari 80 adalah 2⁴ x 5

FPB

Faktor Persekutuan Terbesar atau yang familiar disebut sebagai FPB dari dua bilangan merupakan bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan tersebut. Terdapat beberapa metode untuk mencari FPB, yaitu :

1. Menggunakan Faktor Persekutuan

Faktor persekutuan merupakan faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih dan FPB itu sendiri adalah nilai paling besar dari faktor persekutuan dua bilangan atau lebih itu.

Contoh:

carilah FPB dari 4, 8 dan 12?

Penyelesaian :

Faktor dari 4 adalah = {1, 2, 4}
Faktor dari 8 adalah = {1, 2, 4, 8}
Faktor 12 adalah= {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Faktor persekutuannya adalah 1, 2, 4
Nilai yang terbesar adalah 4, sehingga FPBnya adalah 4

2. Menggunakan Faktorisasi Prima

Pada cara ini kita ambil bilangan faktor yang sama, selanjutnya ambil yang terkecil dari 2 atau lebih bilangan.

Contoh:

a. carilah FPB dari 4, 8 dan 12?

Penyelesaian :

buatlah pohon faktornya

sehingga faktor dari 4, 8 dan 12 yang sama adalah 2, dan yang terkecil adalah 2² = 4
Maka FPB dari 4, 8 dan 12 adalah 4

b.Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30

2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.
Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
Pangkat terendah dari 5 adalah 1.
Maka FPB = 2 X 5 = 10

c.Tentukan FPB dari bilangan 48 dan 60

2 dan 3 merupakan bilangan prima yang sama terdapat faktorisasi prima dari kedua pohon faktor, dimana pangkat terendah dari 2 adalah 2 dan pangkat terendah dari 3 adalah 1 sehingga FPB dari kedua bilangan tersebut yaitu 2².3=12

KPK

Kelipatan Persekutuan Terkecil atau lebih dikenal dengan sebutan KPK dari dua bilangan merupakan bilangan bulat positif terkecil yang dapat habis dibagi oleh kedua bilangan tersebut. Dalam mencari nilai KPK dari bilangan dapat digunakan beberapa metode, antara lain :

1. Menggunakan Kelipatan Persekutuan

Kelipatan persekutuan merupakan kelipatan yang sama dari dua bilangan atau lebih . KPK adalah nilai terkecil dari kelipatan persekutuan 2 atau lebih bilangan.
Contoh:

carilah KPK dari 4 dan 8?

Jawab :
Kelipatan 4 adalah = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ….}
Kelipatan 8 adalah = {8, 16, 24. 32. 40, 48, 56, …}Kelipatan persekutuannya adalah 8, 16, 24, 32, … ( kelipatan yang sama dari 4 dan 8)
Nilai yang terkecil adalah 8, sehingga KPKnya adalah 8

2. Menggunakan Faktorisasi Prima

Hal yang harus dilakukan dalam mencari KPK menggunakan cara faktorisasi prima yaitu mengalikan semua bilangan faktor dan apabila ada yang sama ambil yang terbesar, apabila keduanya sama ambil salah satunya
Contoh:

carilah KPK dari 8, 12 dan 30
Jawab :
buat pohon faktornya

faktor 2 yang terbesar àdalah 2³
faktor 3 nilainya sama untuk 12 dan 30à ambil salah satunya saja yaitu 3
faktor 5 ada 1 à ambil nilai 5
sehingga KPKnya adalah 2³ x 3 x 5 = 120

Contoh soal cerita :

1.Ali Berenang 10 hari sekali, Budi berenang 15 hari sekali, sedangkan Amir berenang 20 hari sekali. Ketiga-tiganya sama-sama berenang petama kali pada tanggal 20 februari 2012, kapan ketiga-tiganya sama-sama berenang untuk yang kedua kalinya?

Jawab:Faktorisasi prima dari 10 = 2 x 5
Faktorisasi prima dari 15 = 3 x 5
Faktorisasi prima dari 20 = 2² x 5

KPK dari 10, 15 dan 20 = 2² x 3 x 5 = 60 (kalikan semua faktor, faktor yang terbesar)

Jadi mereka sama-sama berenang setiap 60 hari sekali.
Mereka sama-sama berenang untuk yang keduakalinya adalah 20 februari + 60 hari = 20 April

Ingat bulan februari untuk tahun kabisat adalah 29 hari, untuk tahun bukan kabisat = 28 hari
(2012 adalah tahun kabisat karena habis dibagi dengan 4)

2. Bu Aminah mempunyai 20 jeruk dan 30 salak, jeruk dan salak akan dimasukkan ke dalam plastik dengan jumlah yang sama.
a. Berapa plastik yang diperlukan?
b. Berapa banyak jeruk dan salak pada masing-masing plastik?Jawab:

Faktorisasi prima dari 20 = 2² x 5
Faktorisasi prima dari 30 = 2 x 3 x 5

FPB dari 20 dan 30 = 2 x 5 = 10 ( kalikan faktor yang sama, apabila sama ambil yang terkecil)

a. Jumlah plastik yang diperlukan = 10 plastik
b. Jumlah jeruk pada setiap plastik = 20/10 = 2 jeruk
Jujmlah salak pada setiap plastik = 30/10 = 3 salak

5. Himpunan
Kali ini kita akan mengulas kembali tentang himpunan, baik dari pengertian, penyajian, operasi dan jenis-jenis himpunan yang pastinya tidak asing lagi bagi pembaca sekalian.

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangan yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan huruf kapital A, B, C, … sedangkan untuk menyatakan anggotanya digunakan huruf kecil a, d, c, …

Terdapat 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan :

Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakan didalam sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh : A = {a, i, u,e, o}.
Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh : P adalah himpunan bilangan bulat positif dan R adalah himpunan bilangan riil.
Notasi pembentukan himpunan, yaitu denganmenuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari anggota. Contoh : A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat positif}
Diagram venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta yang digambarkan dengan segi empat. Contoh :